Potęga dwójki
Potęga dwójki - jest to potęga o podstawie 2 i wykładniku większym od 1.
Obliczanie kolejnych potęg
Obliczanie kolejnych potęg liczby dwa jest bardzo proste. Wystarczy pomnożyć podstawę przez dwa. Można to też uprościć i do podstawy potęgi dodać podstawę, i tak dalej w nieskończoność.
Dla przykładu: 2 ⋅ 2 = 22. 4 ⋅ 2 = 8, dlatego że 4 = 22, a 22 ⋅ 2 = 23. Wiadomo, że 23 = 8, ponieważ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8.
Bardzo zalecanym sposobem jest mnożenie w pamięci przez dwa.
Obliczanie potęgi dwójki - zajęcie dla zabicia nudy?
Znany jest przypadek, gdy Sky S. (17 l.) podczas lekcji matematyki z Beatą W. obliczał potęgi liczby dwa. Matematyka była tak nudnym zajęciem, że podczas zaledwie trzech godzin lekcyjnych (po 45 minut) obliczył 280! Dwie strony jego zeszytu są zapisane "kodem Einsteina" - bowiem każda poprzednia liczba jest mnożona razy dwa, co daje pewną regularność w obliczeniach.
Największa liczba, jaką miał ochotę liczyć (dane z 18.09.2014 r.) to 280 ≈ 1 208 925 789 064 354 201 600 000, i wynosi ona nieco ponad 1,2 kwadryliona (1.2e+24 lub 1,2 ⋅ 1024)
Wnioski
Z tego zadania Sky S. wyciągnął następujące wnioski:
- Występuje pewna regularność w potęgowaniu. Odkryto, że co 4, 3 i 3 miejsca w wykładniku potęgi o podstawie 2 liczba cyfr zmienia się o 1. 20 = 1, a 20+4 = 24 = 16. Kolejnym przykładem może być 214 = 16384, natomiast 214+3 = 217 = 131072. Taka regularność występuje w nieskończoność.
- Kolejna regularność zauważalna jest jeśli chodzi o cyfry w kolejnych potęgach. Odkrył, że jeżeli do wykładnika doda się liczbę 10, to może wystąpić pewien ciąg cyfr który się powtarza. Oczywiście, ta regularność nie występuje w nieskończoność, dlatego że przy ogromnych potęgach w bardzo łatwy sposób powtarzająca się cyfra 16 może zostać zastąpiona przez 17 na skutek kolejnych cyfr i reszty. Przykład: 25 = 32, 25+10 = 215 = 32768. Ta regularność występuje w przypadku potęg mniejszych od 216. Dlatego że od potęgi 216 reszta cyfr jest na tyle ogromna, że wpływa na pierwsze cyfry ogromnych liczb. Przykład: 26 = 64, 26+10 = 65536!
Ciekawostki
- Z jakiegoś powodu informatycy znają bardzo dobrze wszystkie potęgi liczby dwa.
- Za czasów komputerów 16-bitowych, maksymalna pamięć wynosiła zaledwie 64 kB! 216 = 65536 B = 64 kB.
Potęgi liczby dwa
Poniżej zapisano wszystkie potęgi liczby dwa aż do 240.
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
211 = 2048
212 = 4096
213 = 8192
214 = 16384
215 = 32768
216 = 65536
217 = 131072
218 = 262144
219 = 524288
220 = 1048576
221 = 2097152
222 = 4194304
223 = 8388608
224 = 16777216
225 = 33554432
226 = 67108864
227 = 134217728
228 = 268435456
229 = 536870912
230 = 1073741824
231 = 2147483648
232 = 4294967296
233 = 8589934592
234 = 17179869184
235 = 34359738368
236 = 68719476736
237 = 137438953472
238 = 274877906944
239 = 549755813888
240 = 1099511600000