Potęga dwójki

Z MruczekWiki

Potęga dwójki - jest to potęga o podstawie 2 i wykładniku większym od 1.


Obliczanie kolejnych potęg

Obliczanie kolejnych potęg liczby dwa jest bardzo proste. Wystarczy pomnożyć podstawę przez dwa. Można to też uprościć i do podstawy potęgi dodać podstawę, i tak dalej w nieskończoność.

Dla przykładu: 2 ⋅ 2 = 22. 4 ⋅ 2 = 8, dlatego że 4 = 22, a 22 ⋅ 2 = 23. Wiadomo, że 23 = 8, ponieważ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8.

Bardzo zalecanym sposobem jest mnożenie w pamięci przez dwa.

Obliczanie potęgi dwójki - zajęcie dla zabicia nudy?

Znany jest przypadek, gdy Sky S. (17 l.) podczas lekcji matematyki z Beatą W. obliczał potęgi liczby dwa. Matematyka była tak nudnym zajęciem, że podczas zaledwie trzech godzin lekcyjnych (po 45 minut) obliczył 280! Dwie strony jego zeszytu są zapisane "kodem Einsteina" - bowiem każda poprzednia liczba jest mnożona razy dwa, co daje pewną regularność w obliczeniach.

Największa liczba, jaką miał ochotę liczyć (dane z 18.09.2014 r.) to 280 ≈ 1 208 925 789 064 354 201 600 000, i wynosi ona nieco ponad 1,2 kwadryliona (1.2e+24 lub 1,2 ⋅ 1024)

Wnioski

Z tego zadania Sky S. wyciągnął następujące wnioski:

  • Występuje pewna regularność w potęgowaniu. Odkryto, że co 4, 3 i 3 miejsca w wykładniku potęgi o podstawie 2 liczba cyfr zmienia się o 1. 20 = 1, a 20+4 = 24 = 16. Kolejnym przykładem może być 214 = 16384, natomiast 214+3 = 217 = 131072. Taka regularność występuje w nieskończoność.
  • Kolejna regularność zauważalna jest jeśli chodzi o cyfry w kolejnych potęgach. Odkrył, że jeżeli do wykładnika doda się liczbę 10, to może wystąpić pewien ciąg cyfr który się powtarza. Oczywiście, ta regularność nie występuje w nieskończoność, dlatego że przy ogromnych potęgach w bardzo łatwy sposób powtarzająca się cyfra 16 może zostać zastąpiona przez 17 na skutek kolejnych cyfr i reszty. Przykład: 25 = 32, 25+10 = 215 = 32768. Ta regularność występuje w przypadku potęg mniejszych od 216. Dlatego że od potęgi 216 reszta cyfr jest na tyle ogromna, że wpływa na pierwsze cyfry ogromnych liczb. Przykład: 26 = 64, 26+10 = 65536!

Ciekawostki

  • Z jakiegoś powodu informatycy znają bardzo dobrze wszystkie potęgi liczby dwa.
  • Za czasów komputerów 16-bitowych, maksymalna pamięć wynosiła zaledwie 64 kB! 216 = 65536 B = 64 kB.

Potęgi liczby dwa

Poniżej zapisano wszystkie potęgi liczby dwa aż do 240.

20 = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

26 = 64

27 = 128

28 = 256

29 = 512

210 = 1024

211 = 2048

212 = 4096

213 = 8192

214 = 16384

215 = 32768

216 = 65536

217 = 131072

218 = 262144

219 = 524288

220 = 1048576

221 = 2097152

222 = 4194304

223 = 8388608

224 = 16777216

225 = 33554432

226 = 67108864

227 = 134217728

228 = 268435456

229 = 536870912

230 = 1073741824

231 = 2147483648

232 = 4294967296

233 = 8589934592

234 = 17179869184

235 = 34359738368

236 = 68719476736

237 = 137438953472

238 = 274877906944

239 = 549755813888

240 = 1099511600000